Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Задачи к § 4. Построение треугольника по трём элементам

271. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

272. В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

273. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

275. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

277. Расстояние между параллельными прямыми а и б равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

278. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC = 30°, AD = 6 см.

279.* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

280. Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

281. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

282. Прямые а и б параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХY, где X ∈ a, Y ∈ б, лежат на прямой, параллельной прямым а и б и равноудалённой от этих прямых.

283. Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Задачи на построение

284. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми аир было равно АВ.

Решение

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую б, перпендикулярную к прямой а (рис. 142).

Затем на одном из лучей прямой б, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой б. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р, на рисунке 143).

285. Даны пересекающиеся прямые а и б и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой б на расстояние PQ.

286. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

287. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

288. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

289. Даны два угла hk и h₁k₁ и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk,

290. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

291. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Окончание >>>